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\documentclass{scrartcl}
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\usepackage{hyperref}
\usepackage{amsmath}
\def\task{\marginpar{\faChild}}
\usepackage{wasysym}
\begin{document}
\begin{center}\Large
LSGM 25.11. -- mal wieder virtuell \frownie
\end{center}
\section{Knobeleien zum Anfang}
\begin{enumerate}
\item Ihr spielt zu zweit ein Spiel: Jeder kann abwechselnd eine Münze irgendwo auf ein Blatt Papier legen,
wer zuerst keine Münze mehr legen kann hat verloren. Du legst als erster: Wohin?
\item Zwei Wanderer starten 10km voneinander entfernt und laufen
beidem mit 5km/h aufeinander zu. Ein Wanderer hat einen Hund, der
mit 10km/h vorausläuft, er trifft den ersten Wanderer also bei 7.5km.
Der Hund kehrt um zum ersten Wanderer, wenn er diesen trifft, kehrt er wiederum etc.
Wieviele Kilometer läuft der Hund, bis beide Wanderer sich treffen.\footnote{
Einer Anekdote nach wurde diese Aufgabe dem Mathematiker John von Neumann gestellt,
der prompt die richtige Antwort lieferte, woraufhin der Fragesteller sagte:
``Das ist eine Scherzfrage, manche versuchen, den Grenzwert der Partialsumme einer geometrischen
Reihe zu berechnen'' und von Neumann antwortet: ``Wieso, kann man das auch anders rechnen?''}
\end{enumerate}
\section{Dreieck}
\subsection{Punkte auf der Ebene}
\begin{enumerate}
\item Ein Punkt läßt sich als $(x,y)$ darstellen.
\item Wenn ich zwei Punkte $(x_1,y_1)$ und $(x_2,y_2)$ habe, welche Koordinaten hat der Punkt, der genau zwischen
den beiden liegt?
\item Nenne 3 Punkte, die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks sind!
\end{enumerate}
\subsection{Umrechnung der Punkte}
\begin{enumerate}
\item Rechne deine Punkte so um, dass der linke untere bei $(0,0)$ liegt, und das Dreieck $600$
Pixel breit ist.
\item Schreibe die Punkte (mit den entsprechenden Werten für \verb|x1| etc) so auf: \begin{verbatim}
var punkte=[[x1,y1],[x2,y2],[x3,y3]]
\end{verbatim}
\item Wir wollen folgendes machen:
\begin{enumerate}
\item im setup:
\begin{enumerate}
\item setze Koordinaten $x_1$, $y_1$ auf einen Wert im Dreieck
\end{enumerate}
\item In jedem Durchlauf:
\begin{enumerate}
\item setze index auf einen zufälligen Wert: 0, 1 oder 2
\item Setze startpunkt auf die mitte zwischen startpunkt und dem index-ten Eckpunkt
\item Zeichne einen Pixel beim startpunkt
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
Probleme: \verb|Math.random()| liefert eine Komma-Zahl zwischen 0 und 1, wir brauchen
genau 0, 1, oder 2.
Wie immer auf \href{https://editor.p5js.org/}{Processing} loslegen!
\subsection{Erweiterungen}
Es muß nicht unbedingt ein gleichseitiges Dreieck sein! Versuche ein ``schiefes'' Dreieck!
Dieses Muster kommt in der Mathematik häufig vor, zum Beispiel im
Pascalschen Dreieck: Schreibe auf ein Papier eine 1, schreibe darunter
zwei Einsen links und rechts von der oberen 1, und dann darunter immer
die Summe der beiden links und rechts darüber liegenden Zahlen (die dritte Zeile ist
also ``1 2 1''). Mache das für 8 oder 9 Zeilen, und markiere dann die
geraden Zahlen!
\section{Pflanze}
Jetzt machen wir im Prinzip das gleiche, nur komplizierter \smiley. Wir beginnen mit einem
Startpunkt $0,0$, und wenden zufällig eine von mehren möglichen ``Sprüngen'' an.
\begin{align*}
x_2 &= 0 \tag{Sprung 1, 3\%} \\
y_2 &= 0.16y_1 \\
x_2 &= 0.85x_1 + 0.04y_1 \tag{Sprung 2, 73\%}\\
y_2 &= -0.04x_1 + 0.85y_1 + 1.6 \\
x_2 &= -0.15x_1 + 0.28y_1 \tag{Sprung 3, 13\%}\\
y_2 &= 0.26x_1 + 0.24y_1 + 1.6 \\
x_2 &= 0.2x_1 - 0.26y_1 \tag{Sprung 4, 11\%}\\
y_2 &= 0.23x_1 + 0.2y_1 + 0.44
\end{align*}
\begin{enumerate}
\item Wie machen wir die zufällige Entscheidung?
\item Nutze \verb|console.log()|, um beim Zeichnen die aktuellen Werte von $x_1$ und $y_1$ auszugeben!
\item Für das Zeichnen des Pixels müssen wir den Punkt noch verschieben!
\item und natürlich klann man mit den Zahlen herumspielen!
\end{enumerate}
\end{document}
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